INGENERIA EN SISTEMAS (Miguel Paredes)

En análisis numérico el método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa.

Es un método de tipo abierto, el cual requiere de dos puntos iniciales, los cuales pueden ser arbitrarios. Lo que hace básicamente, es trazar rectas secantes a la curva de la ecuación que se esta analizando, y verificar la intersección de dichas rectas con el eje de las X para conocer si es la raíz que se busca.

Al ser un método abierto, converge con la raíz con una velocidad semejante  a la de Newton-Raphson, aunque de igual forma corre el riesgo de no converger con esta nunca. 

Su principal diferencia con el método de Newton-Raphson es que no se requiere obtener la derivada de la función para realizar las aproximaciones, lo cual facilita las cosas al momento de crear un código para encontrar raíces por medio de este método.

Este método, a diferencia del de bisección y regla falsa, casi nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando.

Lo que hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente, y va chequeando la intersección de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca.

Una forma de evitar el cálculo de f '(x) consiste en considerar como aproximación a la derivada la recta que pasa por los valores de 2 iteraciones sucesivas (estima la tangente) es decir, la pendiente de la recta)

Esta variante se conoce con el nombre de método de la Secante. Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton, se obtiene la expresión del método de la secante que proporciona el siguiente punto de iteración:

                                     Representación geométrica de las iteraciones al aplicar el método de la secante

La sucesión queda expresada en términos generales como:
A partir de ciertos valores x0 y x1 dados. El algoritmo deberá parar cuando |xn+1 − xn| sea menor que la precisión requerida. Obviamente, para poder arrancar el método se necesitan dos valores iniciales.

Primero hay que definir algunos conceptos como:
xn                Es el valor actual de X
xn−1            Es el valor anterior de X
xn+1            Es el valor siguiente de X

Como su nombre lo dice, este método va trazando rectas secantes a la curva original, y como después del primer paso no depende de otras cantidades sino que solito va usando las que ya se obtuvieron, casi nunca falla porque se va acomodando y hará que encuentra la raíz.

Lo primero que se hace, igual que con otros métodos es dar 2 puntos cualesquiera que sean sobre el eje de las X que se llaman A y C.
Después se sustituyen esos puntos en la ecuación original para obtener f(A) y f(C). Una vez que se tienen todos esos datos se obtiene el punto B con la fórmula

B=((Af(C))-(C(f(A)))/(f(C)-f(A)).

A diferencia del resto de los métodos, aquí no hay que acomodar en columnas  cada uno de los datos, sino que se utiliza la simplificación de conceptos y como se simplifica la formula para seguir con el método.
Aquí solo se usan 2 columnas, una de xn y otra de f (xn ) .

Ejemplo

Usar el método de la secante para calcular la raiz aproximada de la función
f (x) = x2 − 4 . Comenzando con x0 = 4 , x1 = 3 y hasta que ∈r ≤1% .

Aplicando para la primera iteración con la fórmula


se tendría un valor para x2 = 2.2857 . Si se calcula el error relativo con los valores x2 como valor real y x1 como valor aproximado se tendrá:

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/resolucion_numerica_de_ecuaciones/secante.htm