INGENERIA EN SISTEMAS (Miguel Paredes)

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES(Mapa Conceptual)

By Miguel Paredes

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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

By Miguel Paredes

INTRODUCCIÓN

Los cambios revolucionarios originaron gran aumento en la división de trabajo y la separación de las responsabilidades administrativas en las organizaciones. Sin embargo esta revolución creo nuevos problemas que ocurren hasta la fecha en muchas empresas. Uno de estos problemas es la tendencia de muchos de los componentes a convertirse en imperios relativamente autónomos, con sus propias metas y sistemas de valores. Este tipo de problemas, y la necesidad de encontrar la mejor forma de resolverlos, proporcionaron el surgimiento de la Investigación de Operaciones.

La Investigación de Operaciones aspira determinar la mejor solución (optima) para un problema de decisión con la restricción de recursos limitados.

En la Investigación de Operaciones utilizaremos herramientas que nos permiten tomar una decisión a la hora de resolver un problema tal es el caso de los modelos e Investigación de Operaciones que se emplean según sea la necesidad.

Para llevar a cabo el estudio de Investigación de Operaciones es necesario cumplir con una serie de etapas o fases. Las principales etapas o fases de las que hablamos son las siguientes:

Definición del problema.
Construcción del modelo.
Solución del modelo.
Validación del modelo.
Implantación de los resultados finales.

HISTORIA

El inicio de la Investigación de Operaciones se remonta a la época de la Segunda Guerra Mundial en donde surgió la necesidad urgente de asignar recursos escasos a las diferentes operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma mas efectiva, es por esto, que las administraciones militares americana e inglesa hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el método científico a los problemas estratégicos y tácticos, a dichos científicos se les pidió que hicieran investigaciones sobre las operaciones militares. Todo el esfuerzo de este equipo de científicos (que fueron el primer equipo de Investigación de Operaciones) lograron el triunfo de muchas batallas.

Luego de terminar la guerra, el éxito de la Investigación de Operaciones en las actividades bélicas generó un gran interés en sus aplicaciones fuera del campo militar.

Desde la década de 1950, se había introducido el uso de la Investigación de Operaciones en la industria, los negocios y el gobierno, desde entonces, esta disciplina se ha desarrollado con rapidez.

Un factor importante de la implantación de la Investigación de Operaciones en este periodo es el mejoramiento de las técnicas disponibles en esta área. Muchos de los científicos que participaron en la guerra, se encontraron a buscar resultados sustanciales en este campo; un ejemplo sobresaliente es el método Simplex para resolución de problemas de Programación Lineal, desarrollado en 1947 por George Dantzing. Muchas de las herramientas utilizadas en la Investigación de Operaciones como la Programación Lineal, la Programación Dinámica, Líneas de Espera y Teoría de Inventarios fueron desarrollados al final de los años 50.

Un segundo factor importante para el desarrollo de este campo fue el advenimiento de la revolución de las computadoras. Para manejar los complejos problemas relacionados con esta disciplina, generalmente se requiere un gran número de cálculos que llevarlos a cabo a mano es casi imposible. Por lo tanto el desarrollo de la computadora digital, fue una gran ayuda para la Investigación de Operaciones.

En la década de los 80 con la invención de computadoras personales cada vez más rápidas y acompañadas de buenos paquetes de Software para resolver problemas de Investigación de Operaciones esto puso la técnica al alcance de muchas personas. Hoy en día se usa toda una gama de computadoras, desde las computadoras de grandes escalas como las computadoras personales para la Investigación de Operaciones.

DEFINICIÓN DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Es la ciencia de la administración (CA) que también se conoce como Investigación de Operaciones (IO), los administradores utilizan las matemáticas y ahora hacen uso de las computadoras para tomar decisiones racionales en la resolución de sus problemas. Aunque algunos problemas son lo bastante simples y el administrador puede aplicar su experiencia personal para resolverlos, otros son demasiado complejos.

Habrá problemas donde existirá muchas alternativas que evaluar y la cantidad y complejidad de la información a ser procesada requerirá mucho tiempo para ser trabajada.

La ciencia IO es la aplicación de procedimientos, técnicas y herramientas científicas a problemas operativos con el objeto de ayudar a desarrollar y evaluar soluciones.

Como técnica para la resolución de problemas, investigación de operaciones debe visualizarse como una ciencia y como un arte.

Como Ciencia radica en ofrecer técnicas y algoritmos matemáticos para resolver problemas de decisión adecuada.

Como Arte debido al éxito que se alcanza en todas las fases anteriores y posteriores a la solución de un modelo matemático, depende de la forma apreciable de la creatividad y la habilidad personal de los analistas encargados de tomar las decisiones.

CARACTERÍSTICAS

La Investigación de Operaciones usa el método científico para investigar el problema en cuestión. En particular, el proceso comienza por la observación cuidadosa y la formulación del problema incluyendo la recolección de datos pertinentes.
La Investigación de Operaciones adopta un punto de vista organizacional. De esta manera intenta resolver los conflictos de interés entre los componentes de la organización de forma que el resultado sea el mejor para la organización completa.

La Investigación de Operaciones intenta encontrar una mejor solución (llamada solución optima), para el problema bajo consideración. En lugar de contentarse con mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de acción posible.

En la Investigación de Operaciones es necesario emplear el enfoque de equipo. Este equipo debe incluir personal con antecedentes firmes en matemáticas, estadísticas y teoría de probabilidades, economía, administración de empresas ciencias de la computación, ingeniería, etc. El equipo también necesita
tener la experiencia y las habilidades para permitir la consideración adecuada de todas las ramificaciones del problema.

La Investigación de Operaciones ha desarrollado una serie de técnicas y modelos muy útiles a la Ingeniería de Sistemas. Entre ellos tenemos: la Programación No Lineal, Teoría de Colas, Programación Entera, Programación Dinámica, entre otras.
La Investigación de Operaciones tiende a representar el problema cuantitativamente para poder analizarlo y evaluar un criterio común.

MODELOS DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

La forma convencional en que la investigación de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemático que represente la esencia del problema.

Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una proximación abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que hacen más manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solución. Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema.

La selección del método de solución depende de las características del modelo. Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres tipos:

a) analíticos, que utilizan procesos de deducción matemática

b) numéricos, que son de carácter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error

c) simulación, que utiliza métodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo.

IMPACTO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

La investigación de operaciones ha tenido un impacto impresionante en el mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo. En el proceso, la investigación de operaciones ha hecho contribuciones significativas al incremento de la productividad dentro de la economía de varios países. Hay ahora más de 30 países que son miembros de la International Federation of Operational Research Societies (IFORS), en la que cada país cuenta con una sociedad de investigación de operaciones.

Sin duda, el impacto de la investigación de operaciones continuará aumentando. Por ejemplo, al inicio de la década de los 90, el U.S. Bureau of Labor Statistics predijo que la IO sería el área profesional clasificada como la tercera de más rápido crecimiento para los estudiantes universitarios en Estados Unidos, graduados entre 1990 y 2005. Pronosticó también que, para el año 2005, habría 100 000 personas trabajando como analistas de investigación de operaciones.

RIESGO AL APLICAR LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Al aplicar la I de O al estudio de sistemas y a la resolución de problemas se corre el riesgo de tratar de manipular los problemas para buscar que se ajusten a las diferentes técnicas, modelos de algoritmos establecidos en lugar de analizar los problemas y buscar resolverlos obteniendo las soluciones mejores, utilizando los métodos apropiados, es decir resolver el problema utilizando los métodos que proporcionan las mejoras soluciones y no buscar ajustar el problema a un método específico.

Para llegar a hacer un uso apropiado de la I de O, es necesario primero comprender la metodología para resolver los problemas, así como los fundamentos de las técnicas de solución para de esta forma saber cuándo utilizarlas o no en las diferentes circunstancias.

LIMITACIONES DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

1. Frecuentemente es necesario hacer simplificaciones del problema original para poder manipularlo y detener una solución.

2. La mayoría de los modelos sólo considera un solo objetivo y frecuentemente en las organizaciones se tienen objetivos múltiples.

3. Existe la tendencia a no considerar la totalidad de las restricciones en un problema práctico, debido a que los métodos de enseñanza y entrenamiento dan la aplicación de esta ciencia centralmente se basan en problemas pequeños para razones de índole práctico, por lo que se desarrolla en los alumnos una opinión muy simplista e ingenua sobre la aplicación de estas técnicas a problemas reales.

4. Casi nunca se realizan análisis costo-beneficio de la implantación de soluciones definidas por medio de la I de O, en ocasiones los beneficios potenciales se van superados por los costos ocasionados por el desarrollo e implantación de un modelo.

BIBLIOGRAFÍA
http://www.investigacion-operaciones.com/contenido.htm
http://ies.informe.com/investigacion-de-operaciones-io-dt129.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Investigación_de_operaciones

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Método de la secante

By Miguel Paredes

En análisis numérico el método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa.

Es un método de tipo abierto, el cual requiere de dos puntos iniciales, los cuales pueden ser arbitrarios. Lo que hace básicamente, es trazar rectas secantes a la curva de la ecuación que se esta analizando, y verificar la intersección de dichas rectas con el eje de las X para conocer si es la raíz que se busca.

Al ser un método abierto, converge con la raíz con una velocidad semejante a la de Newton-Raphson, aunque de igual forma corre el riesgo de no converger con esta nunca.

Su principal diferencia con el método de Newton-Raphson es que no se requiere obtener la derivada de la función para realizar las aproximaciones, lo cual facilita las cosas al momento de crear un código para encontrar raíces por medio de este método.

Consideremos la curva y=f(x), y la recta que pasa por los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)). Si la función continua y=f(x) es tal que f(x)=0 posee una única raíz a en el intervalo (a,b), y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, la cuerda AB cortará al eje OX en un punto X1 del intervalo (a,b), que junto con A ó B formará el nuevo intervalo (a1,b1).

El método de la secante consiste en ir aproximando el valor de la raíz buscada a mediante las sucesivas intersecciones con el eje OX de la cuerda que une dos puntos cuyas ordenadas son de signos distintos.

Este método, a diferencia del de bisección y regla falsa, casi nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando.

Lo que hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente, y va chequeando la intersección de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca.

Una forma de evitar el cálculo de f '(x) consiste en considerar como aproximación a la derivada la recta que pasa por los valores de 2 iteraciones sucesivas (estima la tangente) es decir, la pendiente de la recta)

Esta variante se conoce con el nombre de método de la Secante. Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton, se obtiene la expresión del método de la secante que proporciona el siguiente punto de iteración:

Representación geométrica de las iteraciones al aplicar el método de la secante

La sucesión queda expresada en términos generales como:

A partir de ciertos valores x0 y x1 dados. El algoritmo deberá parar cuando |xn+1 − xn| sea menor que la precisión requerida. Obviamente, para poder arrancar el método se necesitan dos valores iniciales.

Primero hay que definir algunos conceptos como:
xn                Es el valor actual de X
xn−1            Es el valor anterior de X
xn+1            Es el valor siguiente de X

Como su nombre lo dice, este método va trazando rectas secantes a la curva original, y como después del primer paso no depende de otras cantidades sino que solito va usando las que ya se obtuvieron, casi nunca falla porque se va acomodando y hará que encuentra la raíz.

Lo primero que se hace, igual que con otros métodos es dar 2 puntos cualesquiera que sean sobre el eje de las X que se llaman A y C.
Después se sustituyen esos puntos en la ecuación original para obtener f(A) y f(C). Una vez que se tienen todos esos datos se obtiene el punto B con la fórmula

B=((Af(C))-(C(f(A)))/(f(C)-f(A)).

A diferencia del resto de los métodos, aquí no hay que acomodar en columnas cada uno de los datos, sino que se utiliza la simplificación de conceptos y como se simplifica la formula para seguir con el método.
Aquí solo se usan 2 columnas, una de xn y otra de f (xn ) .

Ejemplo

Usar el método de la secante para calcular la raiz aproximada de la función
f (x) = x2 − 4 . Comenzando con x0 = 4 , x1 = 3 y hasta que ∈r ≤1% .

Aplicando para la primera iteración con la fórmula

se tendría un valor para x2 = 2.2857 . Si se calcula el error relativo con los valores x2 como valor real y x1 como valor aproximado se tendrá:

Primera iteración aplicando el método de la secante de la función f (x) = x2 − 4

Ahora si se calcula en una segunda iteración

se tendría un valor para x3 = 2.0541, con un error relativo

Ahora si se continúa realizando los cálculos iterativamente, se tendrán valores como los mostrados en la siguiente tabla.

Resultados al aplicar el método de la Secante a la función

Métodos Numéricos con Octave

Método de la Secante

El método de la secante es un método que permite evaluar las raices de funciones cuya derivada es difícil de calcular. En dichos casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia nita dividida hacia atrás. Y se obtiene de este modo la siguiente fórmula iterativa.

Código

function [p1,y1,err,P] = secant(p0,p1,delta,max1)
f = input("ingrese f(x): ", "s");
f = inline(f);
epsilon = 1.0842e-19;
P(1) = p0;
P(2) = p1;
P(3) = 0;
P(4) = 0;
P(5) = 0;

P(6) = 0;
y0 = feval(f,p0);
y1 = feval(f,p1);
for k=1:max1,
df = (y1-y0)/(p1-p0);
if df == 0,
dp = 0;
else
dp = y1/df;
end
p2 = p1 - dp;
y2 = feval(f,p2);
err = abs(dp);
relerr = err/(abs(p2)+eps);
p0 = p1;
y0 = y1;
p1 = p2;
y1 = y2;
P = [P;p0 p2 p1 y1 err relerr];
if (err
end
disp(' P0 P2 Xi F(Xi) ErrAbs ErrorRelativo');
disp(P);
disp('Error Absoluto:');
disp(err);
disp('Error Relativo:');
disp(relerr);
end

Método de la secante en matlab

function a =secante(fun,x0,x1,tol,maxiter)
% Aproxima por el método de la secante una raiz de la ecuacion fun(x)=0
%cercana a x0, tomando como criterio de parada abs(fun(x))
%el numero de iteraciones dada  por maxiter. 
%
% Variables de entrada:
%     fun: funcion a calcular la raiz, se introduce en modo simbolico 'fun'   
%     x0, x1: estimaciones iniciales para el proceso de iteración
%     tol: tolerancia en error absoluto para la raiz
%     maxiter: maximo numero de iteraciones permitidas
%
% Variables de salida:
%     a: valor aproximado de la raiz
fprintf(1, 'Metodo de la secante \n');
f0=subs(fun,x0); 
f1=subs(fun,x1);
iter=1;
while(abs(f1)>tol) & (iter
 a = x1-f1*((x1-x0)/(f1-f0));           % formula de iteracion
   f0=f1; f1=subs(fun,a);   %Actualiza f0 y f1 
   fprintf(1, 'iter= %i, a= %x0,f= %e  \n', iter,a ,f1)
 iter = iter + 1;                             % Cuenta los pasos
 x0=x1; x1=a;   % actualiza x
end
% Salida